Question

已知有两张全等的矩形纸片．
（1）将两张纸片叠合成如图1，请判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）设矩形的长是6，宽是3．当这两张纸片叠合成如图2时，菱形的面积最大，求此时菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AP=AQ得平行四边形ABCD是菱形；
（2）设BC=x，则CG=6-x，CD=BC=x，在Rt△CDG中，由勾股定理得出x，再求得面积．

解答：解：（1）四边形ABCD是菱形．
理由：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形全等，
∴AR=AS，
∵AR•BC=AS•CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）设BC=x，则CG=6-x，CD=BC=x，
在Rt△CDG中，CG²+DG²=CD²，
∴（6-x）²+3²=x²，
解得x=

15

4

，
∴S=BC•DG=

45

4

．

点评：本题是一道综合性质的题目，考查了菱形的判定和性质、勾股定理和矩形的性质等知识点，是中考的常见题型．