Question

正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM为多少时，四边形ABCN的面积最大？

Answer 1

解：设BM=x，则MC=-4x，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC，
∴△ABM∽△MCN，则=，即=，
解得：CN=，
∴S_{四边形ABCN}=×4×[4+]=-x²+2x+8=-（x-2）²+10，
∵0≤x≤4，
∴当x=2时，S_{四边形ABCN}最大．
即当BM的长为2时，四边形ABCN的面积最大．
分析：设BM=x，则MC=-4x，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质及二次函数的最值，证明△ABM∽△MCN，得出CN的表达式是解答本题的关键，注意配方法求二次函数最值的应用．