Question

5．如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连结AC并延长AC至点D，使CD=CA，连结ED交⊙O于点B．
（1）求证：点C是劣弧$\widehat{AB}$的中点；
（2）如图②，连结EC，若AE=2AC=4，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接CE，由AE是⊙O的直径，得到CE⊥AD，根据等腰三角形的性质得到∠AEC=∠DEC，于是得到结论；
（2）连接BC，OB，OC，由已知条件得到△AED是等边三角形，得到∠A=60°，推出AE∥BC，∠BOC=60°，于是得到结论．

解答 解：（1）连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴CE⊥AD，
∵AC=CD，
∴AE=ED，
∴∠AEC=∠DEC，
∴$\widehat{BC}=\widehat{AC}$；
∴点C是劣弧$\widehat{AB}$的中点；
（2）连接BC，OB，OC，
∵AE=2AC=4，
∴∠AEC=30°，AE=AD，
∴∠AED=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$，
∴AE∥BC，∠BOC=60°，
∴S_△OBC=S_△EBC，
∴S_阴影=S_扇形=$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．