Question

9．如图，正三角形ABC的边长为2，分别以A、B、C为圆心，1为半径画弧，与△ABC的内切圆O围成的图形为图中阴影部分，求S_阴影．

Answer 1

分析 直接利用等边三角形的性质结合扇形面积求法得出扇形中间空白面积，进而得出答案．

解答 解：连接AO，EO，
由题意可得：AE=1，∠OAE=30°，
则tan30°=$\frac{EO}{AE}$=$\frac{EO}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故EO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则S_△AEO=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$×6=$\sqrt{3}$，
∴扇形中间空白面积为：S_△ABC-33_扇形ADE=$\sqrt{3}$-3×$\frac{60×π×{1}^{2}}{360}$=$\sqrt{3}$-$\frac{π}{4}$，
∴S_阴影=π×（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²-（$\sqrt{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{7π}{12}$-$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质以及扇形面积求法和三角形的内心，正确得出空白面积是解题关键．