Question

3．已知：如图，菱形ABCD中，AB=10cm，BD=12cm，对角线AC与BD相交于点O，直线MN以1cm/s从点D出发，沿DB方向匀速运动，运动过程中始终保持MN⊥BD，垂足是点P，过点P作PQ⊥BC，交BC于点Q．（0＜t＜6）
（1）求线段PQ的长；（用含t的代数式表示）
（2）设△MQP的面积为y（单位：cm²），求y与t的函数关系式；
（3）是否存在某时刻t，使线段MQ恰好经过点O？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，在Rt△BOC中，OC=$\sqrt{B{C}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，推出sin∠OBC=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{4}{5}$，在Rt△PBQ中，由PB=12-t推出sin∠PBQ=$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{4}{5}$，即可求出PQ．
（2）如图2中，作QH⊥MN于H．求出QH、PM即可解决问题．
（3）如图3中，连接QN只要证明QM经过点O时，OP是△MQN的中位线，得到QN=2OP，由此列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=10，OB=OD=6，BD⊥AC，
在Rt△BOC中，OC=$\sqrt{B{C}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴sin∠OBC=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{4}{5}$，
在Rt△PBQ中，∵PB=12-t，
sin∠PBQ=$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{4}{5}$，
∴PQ=$\frac{4}{5}$（12-t）=$\frac{48}{5}$-$\frac{4}{5}$t（0＜t＜6）．

（2）如图2中，作QH⊥MN于H．

∵∠QPH+∠BPQ=90°，∠BPQ+∠CBO=90°，
∴∠QPH=∠CBO，
∴QH=PQ•sin∠QPH=$\frac{4}{5}$（$\frac{48}{5}$-$\frac{4}{5}$t），
易知PM=$\frac{4}{3}$t，
∴y=$\frac{1}{2}$•PM•QH=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$t•$\frac{4}{5}$（$\frac{48}{5}$-$\frac{4}{5}$t）=$\frac{384}{75}$-$\frac{32}{75}$t（0＜t＜6）．

（3）如图3中，连接QN．

当MQ经过点O时，易证△BOQ≌△DOM，
∴BQ=DM，OM=OQ，
∵PM=PN，
∴OP∥QN，NQ=2OP，
∴QN⊥MN，QN=$\frac{4}{5}$（$\frac{48}{5}$-$\frac{4}{5}$t），
∴$\frac{4}{5}$（$\frac{48}{5}$-$\frac{4}{5}$t）=2（6-t），
解得t=$\frac{54}{17}$，
∴t=$\frac{54}{17}$时，MQ经过点O．

点评 本题考查四边形综合题、菱形的性质、时间中位线定理、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，熟练应用锐角三角函数解决问题，属于中考压轴题．