Question

设a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，…，a_n=（2n+1）²-（2n-1）²（n为大于0的自然数）．
（1）探究a_n是否为8的倍数，并用文字表述出你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，例如：1，4，9，16，…，是“完全平方数”．试写出a₁，a₂，a₃，…，a_n，这一列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”．

Answer 1

分析：（1）将a_n的表达式根据平方差公式计算出来，看是否是8的倍数．
（2）

an

=

8n

=2

2n

，根据该式依次列出所需的完全平方数即可．

解答：解：（1）根据平方差公式计算a_n=（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）=8n，
故a_n是8的倍数．

（2）设a=2b（b为大于0的自然数）
则

an

=

8n

=2

2n

，所以当n分别取2、8、18、32时得到一列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”．
n=2时，a_n=16，
n=8时，a_n=64，
n=18时，a_n=144，
n=32时，a_n=256，
所以列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”为16、64、144、256．

点评：本题主要考查平方差公式的应用，读懂题目信息是解题的关键．