Question

如图，AB为⊙O的直径，割线PCD交⊙O于C、D，∠PAC=∠PDA．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PA=6，CD=3PC，求PD的长．

Answer 1

（1）证明：连接BD；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°；
∵∠PAC=∠PDA，∠CAB=∠CDB，
∴∠PAC+∠CAB=∠PDA+∠CDB=∠BDA=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PA是⊙O的切线．

（2）解：设PC=a；
∵CD=3PC，
∴CD=3a；
∵PA是⊙O的切线，PCD是割线，
∴PA²=PC•PD，
即6²=a•（a+3a），
解得a=3，
PD=PC+CD=a+3a=4a，
∴PD=12．
分析：要证明PA是⊙O的切线只要证明∠PAB=90°即可；已知PA是⊙O的切线，PCD是割线，则可以利用切割线定理来求得PD的长．
点评：此题考查学生对切线的判定及切割线定理的掌握情况．会根据切割线定理作为相等关系列方程求线段的长度是解题的关键．