Question

3．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，-4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（　　）

• A． 7
• B． 7.5
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 要求△BCD的最大值，只要表示出△BCD的面积即可，根据题目中的信息可以求出抛物线的解析式和直线的解析式，从而可以表示出三角形BCD的面积，从而可以求得△BCD的最大值．

解答 解：设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，
∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，-4）三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=5}\\{c=-4}\end{array}\right.$
∴y=-x²+5x-4，
设过点B（4，0），C（0，-4）的直线的解析式为y=kx+m
$\left\{\begin{array}{l}{4k+m=0}\\{m=-4}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-4}\end{array}\right.$
即直线BC的直线解析式为：y=x-4，
设点D的坐标是（x，-x²+5x-4）
∴${S}_{△BCD}=\frac{[（-{x}^{2}+5x-4）-（x-4）]×4}{2}$=-2（x-2）²+8，
∴当x=2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8．
故选C．

点评 本题考查二次函数的最值，解题的关键是根据题意求出相应的解析式，可以表示出三角形的面积，运用二次函数最值的相关知识解答．