Question

已知：如图AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0（其中m为实数）的两根．
（1）求证：BE=BD．
（2）若GE•EF=6

3

，求∠A的度数．

Answer 1

分析：（1）要证明BE=BD，就要根据BE、BD恰好是关于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0（其中m为实数）的两根，来判断，是它的两根，可见此方程有根，所以求出△，必须≥0．利用这求出m的值．从而求出这个方程的一般式，然后解方程求出根，即是BE、BD的长度；
（2）要求∠A的度数就要利用直角三角形的角边关系，求出在Rt△ACB中sinA的值，要求sinA的值，就要求BC，AB的值．这就要利用题中给出的条件利用相似三角形来求．

解答：（1）证明：∵BE、BD是关于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0的两根，
∴△=（-6）²-4（m²+4m+13）=-4（m+2）²≥0，∴m=-2，（2分）
原方程为x²-6x+9=0，
解之，得x₁=x₂=3，
∴BE=BD=3；（4分）

（2）解：由相交弦定理得AE•BE=GE•FE=6

3

∴AE=2

3

（5分）
∵PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径
∴∠ABP=∠ACB=90°
又∵BE=BD=3，
∴∠1=∠2
∵∠1=∠A+∠4，∠2=∠3+∠5
又∵∠5=∠A，
∴∠3=∠4（7分）
方法一：易证△PBD∽△PAE，
∴

BD

AE

=

PD

PE

△PDC∽△PEB
∴

DC

EB

=

PD

PE

（9分）
∴

BD

AE

=

DC

EB

，DC=

BD•EB

AE

=

3×3

2 3

=

3 3

2

（10分）
在Rt△ACB中，sinA=

BC

AB

=

3+ 3 3 2

3+2 3

=

6+3 3

6+4 3

=

3(2+ 3 )

2 3 ( 3 +2)

=

3

2

∴∠A=60°；（12分）

方法二：易证△PBC∽△PAB，
∴

BC

AB

=

PB

PA

∵△PBD∽△PAE
∴

BD

AE

=

PB

PA

（9分）
∴

BC

AB

=

BD

AE

（10分）
sin∠A=

BC

AB

=

BD

AE

=

3

2 3

=

3

2

∴∠A=60°（12分）

点评：本题综合考查了学生圆的有关知识，及一元二次方程根的判别式的性质．本题的综合性质很强，所以学生在学习时思维一定要开阔，要把各知识系统起来．