Question

7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，D是BC边上一点，直线ED⊥BC于点D，交AB于点E，CF∥AB交直线DE于点F，设CD=x
（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；
（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$？

Answer 1

分析 （1）首先证明∠B=30°，四边形AEFC是平行四边形，当AC=AE=2时，四边形AECF是菱形，推出AE=EB=2，由ED∥AC，推出CD=BD=$\sqrt{3}$；
（2）由S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，S_{四边形AEDC}=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，推出S_△BDE=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，推出$\frac{1}{2}$•（2$\sqrt{3}$-x）•$\frac{2\sqrt{3}-x}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，解方程即可；

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠B=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=4，
∵∠ACB=∠BDE=90°，
∴AC∥EF，∵CF∥AE，
∴四边形AEFC是平行四边形，
∴AC=AE=2时，四边形AECF是菱形，
∴AE=EB=2，
∵ED∥AC，
∴CD=BD=$\sqrt{3}$，
∴x=$\sqrt{3}$时，四边形AEFC是菱形．

（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，S_{四边形AEDC}=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△BDE=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$•（2$\sqrt{3}$-x）•$\frac{2\sqrt{3}-x}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得x=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$ 或2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$（舍弃），
∴x=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．