Question

11、若x、y为正整数，使得2xy能整除x²+y²-x，则x为完全平方数．

Answer 1

分析：先设x²+y²-x=2kxy（k为整数），y的值是固定的，根据判别式为完全平方数可以证明x是完全平方数．

解答：证明：设x²+y²-x=2kxy（k为整数），
则关于y的二次方程y²-2kxy+（x²-x）=0的根中有一个y₁（y）是整数，另一个y₂=2kx-y₁也是整数，
其判别式△=4[k²x²-（x²-x）]=4x[（k²-1）x+1]应为完全平方数．
由于x与（k²-1）x+1互质（它们的最大公约数（x，（k²-1）x+1）=（x，1）=1），
所以，x是完全平方数．

点评：本题考查了完全平方数的问题．其中还考查了判别式和互质的问题．