Question

已知：如图，锐角△ABC的两条高CD、BE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）连接AO，判断AO与BC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件证明△BDC≌△CEB即可证明AB=AC，进而证明三角形ABC是等腰三角形；
（2）AO⊥BC，首先连接AO并延长交BC于F，由AB=AC，OB=OC，即可证得AF是BC的垂直平分线，又由三线合一的性质，即可证得点O在∠BAC的角平分线上，利用等于三角形的性质：三线合一即可证明AO⊥BC．

解答：（1）证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵BE、CD是两条高，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
又∵BC=CB，
∴△BDC≌△CEB（AAS）
∴∠EBC=∠DCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）答：AO⊥BC，理由如下：
解：连接AO并延长交BC于F，
在△AOB和△AOC中，

AB=AC OB=OC OA=OA

，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
即AO⊥BC，

点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及垂直平分线的判定等知识．此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用．