Question

1．如图，直线y=-x+3分别交x轴于点B、交y轴于点C，经过B、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求点A的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）求△ABC外接圆的半径及外心的坐标；
（4）连结AC，请问在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=-x+3分别交x轴于点B、交y轴于点C，经过B、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2，可以求得点B、点C的坐标，从而可以求得点A的坐标；
（2）根据第（1）问中求得的点A、B、C的坐标可以求得该抛物线的函数表达式；
（3）根据三角形的外接圆的圆心到圆上各点的距离都相等，都等于半径，由点A、B、C的坐标，设外接圆圆心的坐标为（2，m）可以求得点m的值和外接圆的半径；
（4）先说明存在，然后根据题目中的条件可以求得相应的点Q的坐标．

解答 解：（1）∵直线y=-x+3与x轴、y轴的交点分别为B、C，
∴当x=0时，y=3，当y=0时，x=3，
∴点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为A、B，且对称轴是直线x=2，
∴点A的坐标为（1，0）；
（2）∵点A、B是抛物线与x轴的两个交点，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∴设该抛物线的函数表达式为：y=a（x-1）（x-3），
又∵点C（0，3）在抛物线上，
∴3=a（0-1）•（0-3），
解得，a=1，
∴y=（x-1）•（x-3）=x²-4x+3，
即该抛物线的函数表达式为：y=x²-4x+3；
（3）设△ABC的外心坐标为（2，m），
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴$\sqrt{（m-0）^{2}+（2-3）^{2}}=\sqrt{（m-3）^{2}+（2-0）^{2}}$，
解得：m=2，
∴$\sqrt{（m-3）^{2}+（2-0）^{2}}=\sqrt{（2-3）^{2}+（2-0）^{2}}=\sqrt{5}$，
即△ABC的外接圆的半径为$\sqrt{5}$，外心坐标为（2，2）；
（4）存在点Q，使得△ACQ的周长最小．
如下图所示，

∵点Q在抛物线的对称轴上，点A与点B关于直线x=2对称，
∴QC+QA的最小值是QB+QC的最小值，
∵两点之间线段最短，
∴点Q是直线BC与直线x=2的交点，
设过点B（3，0），点C（0，3）的直线的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得，k=-1，b=3，
∴y=-x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{x=2}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$
∴点Q的坐标为：（2，1），
即当Q为（2，1）时，△ACQ的周长最小．

点评 本题考查二次函数综合题、二次函数的解析式、二次函数的图象关于对称轴对称、三角形的外接圆和外心、三角形周长的最小值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．