Question

19．已知关于x的方程kx²-（k+2）x+2=0（k≠0）．
（1）求证：无论k为何值时，这个方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值．

Answer 1

分析 （1）证明根的判别式△不小于0即可；
（2）先把方程因式分解，用k表示出方程的根，再根据方程的两个实数根都是整数，进而求出k的值．

解答 解：（1）△=（k+2）²-8k=（k-2）²≥0，
即无论k为何值时，这个方程总有两个实数根；
（2）∵kx²-（k+2）x+2=0，
∴（kx-2）（x-1）=0，
∴x₁=$\frac{2}{k}$，x₂=1，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴k=1或2．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．