Question

如图所示：抛物线y=x²-2x-3交坐标轴于A、B、C三点，D是抛物线的顶点，M在对称轴上，P在坐标轴上．以下结论：
①存在点M，使△AMC是等腰直角三角形；
②AM+CM的最小值是3；
③AM-CM的最大值是；
④若△APC与△BCD相似，则P的坐标恰有两个．
其中正确的是________（只填序号）

Answer 1

①②③
分析：先根据抛物线的解析式确定点A的坐标为（-1，0），点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，-3），对称轴为直线x=1，D点坐标为（1，-4）；由于△AMC为等腰直角三角形，易得△AMF≌△MCE，则FM=CE=1，可得到M点坐标为（1，-1）；由于点A与点B关于直线x=1对称，根据两点之间线段最短得到当M点在M₁的位置时，AM+CM有最小值，最小值为BC的长，运用勾股定理可计算BC=3；由于三角形任意两边之差小于第三边，则当M点在M₂的位置时，AM+CM有最大值，最大值为AC的长，再根据勾股定理可计算出AC=；根据勾股定理的逆定理可得到∠BCD=90°，若△APC与△BCD相似，则△APC为直角三角形，当∠AP₁C=90°时，根据OA：CD=OC：BC=1：，可得到Rt△P₁AC∽Rt△CDB，则P₁（0，0）满足条件；当∠P₂AC=90°时，由于Rt△CAP₂∽Rt△COA，则Rt△AP₂C∽Rt△CDB，可得到P₂（0，）满足条件；当∠P₃CA=90°时，由于Rt△CAP₃∽Rt△OAC得到Rt△AP₂C∽Rt△CDB，则有P₃（9，0）满足条件．
解答：令y=0，则x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3令x=0，y=-3
∴点A的坐标为（-1，0），点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，-3），
∵y=（x-1）²-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，D点坐标为（1，-4），
（1）设M点坐标为（1，t），作CE⊥直线x=1，直线x=1与x轴交于F点，如图，
当△AMC为等腰直角三角形时，则△AMF≌△MCE，
∴FM=CE=1，
∴M点坐标为（1，-1），所以①正确；
（2）点A与点B关于直线x=1对称，BC与直线x=1的交点为M₁，
当M点在M₁的位置时，AM+CM有最小值，最小值为BC的长，即3，所以②正确；
（3）延长AC交直线x=1于M₂，
当M点在M₂的位置时，AM+CM有最大值，最大值为AC的长，即=，所以③正确；
（4）∵BC=3，BD=2，CD=，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠BCD=90°，
当P点在原点，即P₁的位置时，OA：CD=OC：BC=1：，
∴Rt△P₁AC∽Rt△CDB，
∴P₁（0，0）满足条件；
当∠P₂AC=90°时，
∵Rt△CAP₂∽Rt△COA，OP₂=OA=，
∴Rt△AP₂C∽Rt△CDB，
∴P₂（0，）满足条件；
当∠P₃CA=90°时，
∵Rt△CAP₃∽Rt△OAC，OP₃=3OC=9，
∴Rt△AP₂C∽Rt△CDB，
∴P₃（9，0）满足条件；所以④错误．
故答案为①②③．
点评：本题考查了二次函数的综合题：先根据抛物线的解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标和对称轴、顶点坐标，再利用勾股定理计算出相关线段的长，然后运用对称、三角形相似的判定与性质解决问题．