Question

14．如图，以E（3，0）为圆心，5为半径的⊙E与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，顶点为F．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）已知P是抛物线上位于第四象限的点，且满足S_△ABP=S_△ABC，连接PF，判断直线PF与⊙E的位置关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可直接得到点A、B的坐标，连接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的长，则得到点C的坐标；
（2）已知点A、B、C的坐标，利用交点式与待定系数法求出抛物线的解析式，由解析式得到顶点F的坐标；
（3）首先求出点P的坐标；连接EP，PF，过点P作PG⊥对称轴EF于点G，求出PE，推出点P在⊙E上；再利用勾股定理求出PF的长度，则利用勾股定理的逆定理可判定△EPF为直角三角形，∠EPF=90°，所以直线PF与⊙E相切．

解答 解：（1）∵以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，
∴A（-2，0），B（8，0）．
如解答图所示，连接CE．
在Rt△OCE中，OE=AE-OA=5-2=3，CE=5，
由勾股定理得：OC=$\sqrt{C{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴C（0，-4）．

（2）∵点A（-2，0），B（8，0）在抛物线上，
∴可设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-8）．
∵点C（0，-4）在抛物线上，
∴-4=a×2×-8，解得a=$\frac{1}{4}$
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=$\frac{1}{4}$（x-3）²-$\frac{25}{4}$，
∴顶点F的坐标为（3，-$\frac{25}{4}$）．

（3）直线PF与⊙E相切．理由如下：
∵△ABC中，底边AB上的高OC=4，
∴若△ABC与△ABP面积相等，则抛物线上的点P须满足条件：|y_P|=4，
∵点P在第四象限，
∴y_p=-4，则 $\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=-4，
整理得：x²-6x=0，解得x=6或x=0（与点C重合，故舍去）．
∴点P的坐标为（6，-4），连接EP，PF，过点P作PG⊥对称轴EF于点G，
则PG=3，EG=4．
在Rt△PEG中，由勾股定理得：PE=$\sqrt{E{G}^{2}+P{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴点P在⊙E上．
由（2）知，顶点F的坐标（3，-$\frac{25}{4}$），
∴EF=$\frac{25}{4}$，
∴FG=EF-EG=$\frac{9}{4}$．
在Rt△PGF中，由勾股定理得：PF=$\sqrt{P{G}^{2}+G{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$．
在△EFP中，∵EP²+PF²=5²+（ $\frac{15}{4}$）²=（ $\frac{25}{4}$）²=EF²，
∴△EFP为直角三角形，∠EPF=90°．
∵点P在⊙E上，且∠EPF=90°，
∴直线PF与⊙E相切．

点评 本题考查圆综合题、二次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、切线的判定、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握利用勾股定理的逆定理证明直角的方法，属于中考压轴题．