试题分析:(1)根据等边三角形的三边相等,则△EFG的边长是点E移动的距离;根据等边三角形的三线合一和F点移动速度是E点移动速度的2倍,即可分析出BF=4,此时等边三角形的边长是2,则点G和点D重合;
(2)①当0<x≤2时,重叠部分的面积即为等边三角形的面积;
②当2<x≤6时,分两种情况:当2<x<3时和当3≤x≤6时,进行计算;
(3)分别求得(2)中每一种情况的最大值,再进一步比较取其中的最大值即可.
试题解析:
解:(1)∵点E、F同时从B点出发,沿射线BC向右匀速移动,且F点移动速度是E点移动速度的2倍,
∴BF=2BE=2x,
∴EF=BF-BE=2x-x=x,
∴△EFG的边长是x;
过D作DH⊥BC于H,得矩形ABHD及直角△CDH,连接DE、DF.
在直角△CDH中,∵∠C=30°,CH=BC-AD=3,
∴DH=CH•tan30°=3×
=
.
当x=2时,BE=EF=2,
∵△EFG是等边三角形,且DH⊥BC交点H,
∴EH=HF=1.
∴DE=DF=
=2,
∴△DEF是等边三角形,
∴点G的位置在D点.
(2)①当0<x≤2时,△EFG在梯形ABCD内部,所以y=
;
②分两种情况:
Ⅰ.当2<x<3时,如图1,点E、点F在线段BC上,
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM,
∵∠FNC=∠FCN=30°,∴FN=FC=6-2x.∴GN=3x-6.
∵在Rt△NMG中,∠G=60°,GN=3x-6,
∴GM=
(3x-6),
由勾股定理得:MN=
(3x-6),
∴S
△GMN=
×GM×MN=
×
(3x-6)×
(3x-6)=
(3x-6)
2,
所以,此时y=
-
(3x-6)
2=
;
Ⅱ.当3≤x≤6时,如图2,点E在线段BC上,点F在射线CH上,
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP,
∵EC=6-x,
∴y=
(6-x)
2=
x
2?
;
(3)当0<x≤2时,
∵y=
x
2,在x>0时,y随x增大而增大,
∴x=2时,y
最大=
;
当2<x<3时,∵y=
,在x=
时,y
最大=
;
当3≤x≤6时,∵y=
x
2?
;,在x<6时,y随x增大而减小,
∴x=3时,y
最大=
.
综上所述:当 x=
时,y
最大=
.