Question

已知：如图，一次函数y=-x-2的图象与二次函数y=2x²+2x-4的图象与x轴交于同一点A，且与y轴交于点B，设二次函数交y轴于点D，在x轴上有一点C，使以点A、B、C组成三角形与△ADB相似．试求出C点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：利用一次函数解析式求出点B的坐标，利用二次函数解析式求出点D的坐标，并判断出△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AB的长度，∠OAB=∠OBA=45°，然后根据△ABD中没有45°的角和∠ABD=135°判断出∠BAC和∠ABD是对应角为135°，从而判断出点C在点A的左边，再分AC和BD，AC和AB是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求出AC的长度，再求出OC的长度，从而得解．

解答：解：令x=0，一次函数与y轴的交点B（0，-2），
二次函数与y轴的交点为D（0，-4），
∴△AOB是等腰直角三角形，BD=-2-（-4）=2，
∴AB=

22+22

=2

2

，∠OAB=∠OBA=45°，
∵△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠BAC和∠ABD是对应角为135°，
∴点C在点A的左边，
①AC和BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，
∴

AC

BD

=

AB

AB

=1，
∴AC=BD=2，
∴OC=OA+AC=2+2=4，
点C的坐标为（-4，0），
②AC和AB是对应边时，
∵△ADB∽△CBA，
∴

AC

AB

=

AB

BD

=

2

2

，
∴AC=

2

AB=

2

×2

2

=4，
∴OC=OA+AC=2+4=6，
∴点C的坐标为（-6，0），
综上所述，在x轴上有一点C（-4，0）或（-6，0），使以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．

点评：此题主要考查了二次函数综合题型以及相似三角形对应边成比例的性质，难点在于要分情况讨论得出所有符合条件的点．