Question

4．如图，顺次连接矩形ABCD四边的中点得到四边形A₁B₁C₁D₁，然后顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁的中点得到四边形A₂B₂C₂D₂，再顺次连接四边形A₂B₂C₂D₂四边的中点得到四边形A₃B₃C₃D₃，…，已知AB=6，BC=8，按此方法得到的四边形A₅B₅C₅D₅的周长为5．

Answer 1

分析 根据三角形中位线性质定理可得每一次去各边中点所形成新的四边形周长都为前一个的$\frac{1}{2}$；并且四边形是平行四边形，即可计算四边形A₅B₅C₅D₅的周长．

解答 解：由勾股定理得到AC=BD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
根据中位线的性质易知，A₅B₅=$\frac{1}{2}$A₃B₃×$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{8}$×10=$\frac{5}{4}$；
B₅C₅=$\frac{1}{2}$B₃C₃×$\frac{1}{2}$B₁C₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{4}$，
∴四边形A₅B₅C₅D₅的周长是2×（$\frac{5}{4}$+$\frac{5}{4}$）=5．
故答案为：5．

点评 本题考查了中点四边形，需要掌握三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．