Question

如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，延长AB到E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）连接OE交BC于点F，若OF=2，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由O为正方形的中心得到∠OCB为45°，再由AB=BC=BE，得到三角形BCE为等腰直角三角形，即∠BCE为45°，进而确定出∠OCE为直角，即CE垂直于OC，可得证；
（2）过O作OG垂直于AB，利用垂径定理得到AG=BG，可得出BE与EG的比值，根据FB与OG平行，由平行得比例，根据OF的长即可求出EF的长．

解答：解：（1）连接OC，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠OCB=45°，
∵AB=BC=BE，∠CBE=90°，
∴△CBE为等腰直角三角形，即∠BCE=45°，
∴∠OCE=∠OCB+∠BCE=90°，
∴CE⊥OC，
则CE为圆O的切线；

（2）过O作OG⊥AB，可得出AG=BG=

1

2

AB=

1

2

BE，
∵FB⊥AE，OG⊥AE，
∴FB∥OG，
∴

EF

EF+OF

=

BE

BE+GB

，即

EF

EF+2

=

2

3

，
解得：EF=4．

点评：此题考查了切线的判定，正方形的性质，平行线的性质，垂径定理，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．