Question

已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立。问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论。

Answer 1

证明：连接DE、EF、DF； （1）当点G在线段BE上时，如图①， 在EF上截取EH使EH=BG， ∵D、E、F是等边△ABC三边中点， ∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=BD 在△DBG和△DEH中， ， ∴△DBG≌△DEH， ∴DG=DH， ∴∠BDG=∠EDH， ∵∠BDE=∠GDE+∠BDG=60°， ∴∠GDH=∠GDE+∠EDH=60°， ∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形； （2）当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取EH使EH=BG， 由（1）可证△DBG≌△DEH， ∴DG=DH，∠BDG=∠EDH， ∵∠BDE=∠BDG-∠EDG=60°， ∴∠GDH=∠EDH-∠EDG=60°， ∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形； （3）当点G在BC延长线上时，如图③， 与（2）同理可证，结论成立； 综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立。