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(2012•张家界)如图,抛物线y=-x2+
5
3
3
x+2与x轴交于C、A两点,与y轴交于点B,点O关于直线AB的对称点为D.
(1)分别求出点A、点C的坐标;
(2)求直线AB的解析式;
(3)若反比例函数y=
k
x
的图象过点D,求k的取值;
(4)现有两动点P、Q同时从点A出发,分别沿AB、AO方向向B、O移动,点P每秒移动1个单位,点Q每秒移动
1
2
个单位,设△POQ的面积为S,移动时间为t,问:在P、Q移动过程中,S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值,并求出此时的t值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)抛物线的解析式中,令x=0,能确定抛物线与y轴的交点坐标(即B点坐标);令y=0,能确定抛物线与x轴的交点坐标(即A、C的坐标).
(2)由(1)的结果,利用待定系数法可求出直线AB的解析式.
(3)欲求出反比例函数的解析式,需要先得到D点的坐标.已知A、B的坐标,易判断出△OAB是含特殊角的直角三角形,结合O、D关于直线AB对称,可得出OD的长,结合∠DOA的读数,即可得到D点的坐标,由此得解.
(4)首先用t列出AQ、AP的表达式,进而可得到P到x轴的距离,以OQ为底、P到x轴的距离为高,可得到关于S、t的函数关系式,根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值.
解答:解:(1)∵点A、C均在X轴上,
令y=0,则-x2+
5
3
3
x+2=0;
解得 x1=-
3
3
,x2=2
3

∴C(-
3
3
,0)、A(2
3
,0).
令x=0,得y=2,
∴B(0,2).
综上,A(2
3
,0)、B(0,2).

(2)令直线AB的解析式为y=k1x+2,
∵点A(2
3
,0)在直线上,
∴0=2
3
k1+2
∴k1=-
3
3

∴直线AB的解析式为y=-
3
3
x+2.

(3)由A(2
3
,0)、B(0,2)得:OA=2
3
,OB=2,AB=4,∠BAO=30°,∠DOA=60°;
∵D与O点关于AB对称,∠DOA=60°,
∴OD=OA=2
3

∴D点的横坐标为
3
,纵坐标为3,即D(
3
,3).
因为y=
k
x
过点D,
∴3=
k
3

∴k=3
3


(4)∵AP=t,AQ=
1
2
t,P到x轴的距离:AP•sin30°=
1
2
t,OQ=OA-AQ=2
3
-
1
2
t;
∴S△OPQ=
1
2
•(2
3
-
1
2
t)•
1
2
t=-
1
8
(t-2
3
2+
3
2

依题意有,
t≤4
1
2
t≤2
3
t>0

解得0<t≤4.
∴当t=2
3
时,S有最大值为
3
2
点评:该题考查的知识点有:函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等,在解答动点函数问题时,一定要注意未知数的取值范围.
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m
+
1
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-
5
3
-
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