Question

在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的圆交斜边AB于点P．E是BC的中点，连接PE．
（1）如果圆O的半径为2，∠B=30°，求OE的长；
（2）求证：PE是⊙O的切线．

Answer 1

解：（1）∵圆O的半径为2，
∴AC=4．
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=8．
∵E是BC的中点，OA=OC，
∴OE=4；

证明：（2）连接OP．
∵E是BC的中点，OA=OC，
∴OE∥AB，
∴∠AP0=∠POE，∠A=∠EOC，
∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
∴∠POE=∠COE，
∵OP=OC，OE=OE，
∴△POE≌△COE．
∴∠OPE=∠ACB=90°．
∴PE是⊙O的切线．
分析：（1）根据30°所对的直角边是斜边的一半，求得AB的长，再根据三角形的中位线定理求得OE的长；
（2）要证PE是⊙O的切线，只要连接OP，证明△POE≌△COE，得出∠EPO=90°即可．
点评：本题考查切线的判定，要证某直线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．此题同时综合运用了直角三角形的性质以及三角形中位线定理．