Question

如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．

Answer 1

（1）直线DE与⊙O相切；（2）4

试题分析：1）直线DE与⊙O相切．  
理由如下：
连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠OAD．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
∴∠ODA＝EAD．
∴EA∥OD．  
∵DE⊥EA，
∴DE⊥OD．
又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．
（2）方法一：

如图1，作DF⊥AB，垂足为F．
∴∠DFA＝∠DEA＝90°．
∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，
∴△EAD≌△FAD．  
∴AF＝AE＝8，DF＝DE． 
∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．
在Rt△DOF中，DF＝＝4．
∴DE＝DF＝4． 
方法二：
如图2，连接DB．
      
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADB＝∠AED．
∵∠EAD＝∠DAB，
∴△EAD∽△DAB．
∴．
即．解得．
在Rt△ADE中，＝4． 
方法三：
如图3，作OF⊥AD，垂足为F．

∴AF＝AD，∠AFO＝∠AED．
∵∠EAD＝∠FAO，
∴△EAD∽△FAO．
∴
即．解得．
在Rt△ADE中，DE＝＝4
点评：本题考查圆与直线相切及三角形全等及相似的知识，会判断圆与直线相切及三角形全等及相似的知识是解决本题的关键，属中等难度的题