Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的高，⊙O的直径AE交BC于点F，点P在BC的延长线上，∠CAP=∠B
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）求证：PC•PB=PD•PF．

Answer 1

证明：（1）连接EC，
∵∠CAP=∠B，
∴∠E=∠B=∠CAP，
∵⊙O的直径AE，
∴∠ECA=90°，
∴∠E+∠EAC=90°，
∴∠EAC+∠CAP=90°，
∴∠EAP=90°，
∴PA是⊙O的切线；

（2）∵∠P=∠P，∠CAP=∠B，
∴△PAC∽△PBC，
∴=，
∴PA²=PB•PC，
∵∠P=∠P，∠ADP=∠FAP，
∴△ADP∽△FAP，
∴=，
∴AP²=DP•PF，
∴PC•PB=PD•PF．
分析：（1）根据圆周角定理得出∠E=∠B=∠CAP，进而得出∠EAC+∠CAP=90°，即可得出PA是⊙O的切线；
（2）根据已知得出△PAC∽△PBC，以及△ADP∽△FAP，再利用相似三角形的性质得出即可．
点评：此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质和圆周角定理等知识，根据已知得出相似三角形是解题关键．