Question

4．已知△ABC中，∠ACD是外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∠BEC=42°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求∠EAC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到∠BAC=2∠BEC；
（2）过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EF=FH，EG=EH，然后求出EF=EG，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE是∠CAF的平分线，再根据角平分线的定义解答即可．

解答 解：（1）∵∠ABC与∠ACD的角平分线相交于点E，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∠ECD=∠BEC+∠CBE，
∴$\frac{1}{2}$∠ACD=∠BEC+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）=∠BEC+$\frac{1}{2}$∠ABC，
整理得，∠BAC=2∠BEC，
∵∠BEC=42°，
∴∠BAC=2×42°=84°，

（2）过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，
∵BE平分∠ABC，
∴EF=EH，
∵CE平分∠ACD，
∴EG=EH，
∴EF=EG，
∴AE是∠CAF的平分线，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-84°）=48°．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，难点在于作辅助线并判断出AE是△ABC外角的平分线．