Question

如图（1），正方形ABCD中，点H从点C出发，沿CB运动到点B停止．连接DH交正方形对角线AC于点E，过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G．
（1）求证：DH=FG；
（2）在图（1）中延长FG与BC交于点P，连接DF、DP（如图（2）），试探究DF与DP的关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图1，过点F作FP垂直于DC，垂足为P，
∴∠FPD=90°，
∵∠BAD=∠ADC=∠FPG=90°，
∴四边形AFPD是矩形，
∴AD=FP，
∵EG⊥DH，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠3+∠4=90°，∠1=∠4，
∴∠2=∠3，
，∵∠FPG=∠BCD，FP=CD，
∴△FPG≌△DCH，
∴DH=FG．

（2）如图2，过点E分别作AD、BC的垂线，交AD、BC于点M、N，过E分别作AB、DC的垂线，交AB、CD于点R、T．
∵点E在AC上，可得四边形AREM、ENCT是正方形．
∴△FRE≌△DME≌△ENP，
∴FE=DE=EP，
又∵DE⊥FP，
∴DF与DP的关系为相等且垂直．
分析：（1）过点F作FP⊥DC于点P，因为正方形四边相等，四个角都是直角，从而证明△FPG≌△DCH，从而得出结论．
（2）因为正方形的四个边相等，四个角都是直角，所以很容易证明△FRE≌△DME≌△ENP所以FE=DE=EP，DE⊥FP，从而DF与DP的关系为相等且垂直．
点评：本题考查正方形的性质，四边相等，四个角是直角，以及全等三角形的判定和性质等．