Question

如图，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸，“4开”纸，“8开”纸，“16开”纸…．已知标准纸的短边长为a．
（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：
第一步：将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B'处，铺平后得折痕AE；
第二步：将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．
则AD：AB的值是______，AD，AB的长分别是______，______；
（2）“2开”纸，“4开”纸，“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；
（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；
（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M=90°，MN=MQ=2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．

Answer 1

解：（1）；

（2）相等，比值为；

（3）设DG=x
在矩形ABCD中，∠B=∠C=∠D=90°
∵∠HGF=90°
∴∠DHG=∠CGF=90°-∠DGH
∴△HDG∽△GCF
∴
∴CF=2DG=2x
同理∠BEF=∠CFG
∵EF=FG
∴△FBE≌△GCF
∴BF=CG=a-x
∵CF+BF=BC
∴
解得，
即；

（4）a²，a²．
分析：（1）在图2中，由折叠的性质知，AD=AE，AB=AB′=B′E，∠AB′E=∠B=90°，所以△AB′E是等腰直角三角形，故有AD：AB=，由图知，16开纸的长边是1开纸的长边和四分之一，16开纸的短边也是1开纸的短边和四分之一，故AD=a，AB=a；
（2）由（1）知，1开纸的长边为a，由折叠的性质知，“2开”纸的短边是1开纸的长边的一半，长边是1开纸的短边，“4开”纸的短边是2开纸的长边的一半，长边是2开纸的短边，“8开”纸的短边是4开纸的长边的一半，长边是4开纸的短边，故“2开”纸，“4开”纸，“8开”纸的长与宽之比都相等都等于；
（3）设DG=x，由同角的余角相等可得△HDG∽△GCF，有，得CF=2DG=2x．
同理∠BEF=∠CFG．由EF=FG，得△FBE≌△GCF，有BF=CG由CF+BF=BC，得，求解即为DG的值．
（4）
“4开”纸的短边和短都是1开纸的长边和短边的一半，分别为a，a，如图，梯形有两种情况，①如左图，MN=MQ=2QP=a，则它的面积=（MN+PQ）•MQ=a²．
②如右图，由于“4开”纸的短边和短都是16开纸的长边和短边的2倍，则有BQ=2×a=a，AQ=a，AM=（-1）a．由勾股定理知，MQ²=AM²+AQ²=a，
∴此时的梯形的面积=（MN+PQ）•MQ=a²．
点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；
2、等腰直角三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形和全等三角形的判定和性质，梯形的面积公式等知识点．