如图.在直角坐标系中.已知点P的坐标为(1.0).将线段OP按逆时针方向旋转45°.将其长度伸长为OP的2倍.得到线段OP1,再将线段OP1按逆时针方向旋转45°.长度伸长为OP1的2倍.得到线段OP2,如此下去.得到线段OP3.OP4.-.OPn(1)求点P6的坐标,(2)求△P5OP6的面积,(3)我们规定:把点Pn(xn.yn)的横坐标xn.纵坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，0），将线段OP按逆时针方向旋转45°，将其长度伸长为OP的2倍，得到线段OP₁；再将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂；如此下去，得到线段OP₃，OP₄，…，OP_n（n为正整数）
（1）求点P₆的坐标；
（2）求△P₅OP₆的面积；
（3）我们规定：把点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，…）的横坐标x_n、纵坐标y_n都取绝对值后得到的新坐标（|x_n|，|y_n|）称之为点P_n的“绝对坐标”．根据图中点P_n的分布规律，请你猜想点P_n的“绝对坐标”，并写出来．

【答案】分析：（1）OP₆旋转了6×45°=270°，得到点P₆落在y轴的负半轴，而点P_n到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍，故其坐标为P₆（0，-2⁶）；
（2）根据两组对应边的比相等，且它们的夹角也相等，则这两个三角形相似得到△POP₁∽△P₁OP₂∽△P_n-1OP_n．然后求出S_△P0OP1=

×1×

，再求出

，利用相似三角形面积的比等于它们的相似比即可得到△P₅OP₆的面积；
（3）分类讨论：令旋转次数为n，①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点P_n落在x轴上，此时，点P_n的绝对坐标为（2ⁿ，0）；②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点P_n落在各象限的平分线上，此时，点P_n的绝对坐标为（

×2ⁿ，

×2ⁿ）；③当n=8k+2或n=8k+6时（其中k为自然数），点P_n落在y轴上，此时，点P_n的绝对坐标为（0，2ⁿ）．
解答：解：
（1）根据旋转规律，点P₆落在y轴的负半轴，而点P_n到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍，故其坐标为P₆（0，-2⁶），即P₆（0，-64）；

（2）由已知可得，△POP₁∽△P₁OP₂∽△P_n-1OP_n．
设P₁（x₁，y₁），则y₁=2sin45°=

，
∴

×1×

，
又∵

，
∴

；

（3）由题意知，OP旋转8次之后回到x轴正半轴，在这8次中，点P_n分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点P_n的坐标可分三类情况：令旋转次数为n，
①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点P_n落在x轴上，此时，点P_n的绝对坐标为（2ⁿ，0）；
②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点P_n落在各象限的平分线上，此时，点P_n的绝对坐标为（

×2ⁿ，

×2ⁿ），即（2^n-1

，2^n-1

）；
③当n=8k+2或n=8k+6时（其中k为自然数），点P_n落在y轴上，
此时，点P_n的绝对坐标为（0，2ⁿ）．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了三角形相似的判定与性质以及各象限和坐标轴上的点的坐标特点．

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