Question

如图，已知⊙O₁和⊙O₂的半径分别为R、r，连接O₁O₂交⊙O₁于点M、交⊙O₂于点N．将一个直角三角尺的直角顶点C放在直线O₁O₂的上方，让两个直角边所在的直线分别经过点M、N，CM交⊙O₁于点A，CN交⊙O₂于点B．
（1）求证：O₁A∥O₂B；
（2）直线AB和直线O₁O₂能否平行？若能够，试指出什么条件下，AB∥O₁O₂；若不能，试说明理由．
（3）是否存在一点C，使CM•CA=CN•CB？若存在，请说明如何确定点C的位置，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接O₁A，O₂B，
∵O₁M=O₁A，
∴∠O₁AM=∠O₁MA，
同理∠O₂BN=∠O₂NB，
∵∠C=90°，
∴∠CMN+∠CNM=90°，∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠O₁MA=∠CMN，∠O₂NB=∠CNM，
∴∠O₁MA+∠O₂NB=90°，
∴∠O₁AM+∠O₂BN=90°，
∴∠O₁AB+∠O₂BA=∠O₁AM+∠CAB+∠CBA+∠O₂BN=180°，
∴O₁A∥O₂B；


（2）由（1）知O₁A∥O₂B，若又有AB∥O₁O₂，
则四边形O₁ABO₂为平行四边形，
∴O₁A=O₂B，即R=r，
∴R=r时，AB∥O₁O₂；

（3）存在点C．
点C的位置可以这样确定：
先作两圆的外公切线AB，然后连接AM、BN交于点C，
理由如下：
∵AB切圆O₁于点A，切圆O₂于点B，
∴O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，
∴∠O₁AM+∠CAB=∠O₁AB=90°O₁A∥O₂B，
∴∠O₁+∠O₂=180°，
又∠O₁MA+∠O₁AM+∠O₁=180°，∠O₂NB+∠O₂BN+∠O₂=180°，
∠O₁AM=∠O₁MA，∠O₂BN=∠O₂NB，
∴∠O₁MA+∠O₂NB=90°，
∵∠O₁MA=∠CMN，∠O₂NB=∠CNM，
∴∠CMN+∠CNM=90°，
∴∠C=90°，
∵∠CMN=∠O₁MA=∠O₁AM，
而∠CMN+∠CNM=90°，∠O₁AM+∠CAB=90°，
∴∠CNM=∠CAB，
∴△CNM∽△CAB，
∴，
即CM•CA=CN•CB．
分析：（1）本题需先连接O₁A，O₂B，然后得出∠O₁AM=∠O₁MA和∠O₂BN=∠O₂NB，再根据∠O₁MA+∠O₂NB=90°，∠O₁AM+∠O₂BN=90°，证出∠O₁AB+∠O₂BA=180°，即可求出结果．
（2）本题需先证出四边形O₁ABO₂为平行四边形，得出R=r，即可求出结果．
（3）本题需先作两圆的外公切线AB，然后连接AM、BN交于点C，然后进行证明，即可求出答案．
点评：本题主要考查了切线的性质，在解题时要能根据题意作出辅助线，并灵活应用切线的性质以及相似三角形和平行四边形的有关知识进行证明是本题的关键．