Question

在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点D是该抛物线在第一象限内的一个动点，求当四边形ABDC面积最大时点D的坐标．
（3）在（2）的条件下，过点D的直线与过B、C两点的直线平行，证明直线与过A、B、C三点的抛物线只有一个交点．

Answer 1

解：（1）设所求抛物线为y=a（x-x₁）（x-x₂）
∴该抛物线经过点A（-1，0）、B（4，0）
∴y=a（x-+1）（x-4）
∵抛物线经过点C（0，2）
∴2=-4a
∴a=
∴y=．

（2）∵点D在抛物线上
∴D（）
过点D作DE⊥X轴，交BC于点F
∵过BC的直线为y=
∴F
∴DF=
∴S_{四边形ABDC}=S_△ABC+S_△BCD=
∴当a=2时，S最大值等于9
∴D（2，3）．

（3）∵过点D的直线l∥BC交y轴于点G
∵四边形CFDG是平行四边形
∴DF=CG=2
∴G（0，4）
∴直线：y=
∴=
∴x²-4x+4=0
∴△=16-16=0
∴直线与抛物线只有一个交点．
分析：（1）已知抛物线图象上三个不同点的坐标，利用待定系数法即可确定该函数的解析式．
（2）由图象不难看出，△ABC的面积是一定的，所以只需看△CBD的面积和点D的横坐标之间的关系；过点D作x轴的垂线，交直线BC于点F，已知直线BC和抛物线的解析式，可由点D的横坐标求出点D、F的纵坐标，它们的差就是线段DF的长，以DF为底、OB为高可求出△BCD的面积表达式，再根据所得函数的性质即可确定△BCD的面积最大时（即四边形ABDC的面积最大时）点D的坐标．
（3）设过点D的直线与y轴的交点为G，当DG∥BC时，四边形DFCG是个平行四边形，此时DF=GC，由此确定点G的坐标，进而由待定系数法确定出直线DG的解析式，联立直线DG和抛物线的解析式，消去y后，判断所得一元二次方程的根的判别式是否为0即可．
点评：此题的难度不大，主要涉及了函数解析式的确定、图形面积的解法以及函数图象交点的解法等基础知识；（3）题也可由两直线平行，那么斜率相同（即k值相等）来确定直线的解析式．