Question

已知：如图1，△ABC中，∠B＞∠C，AD是△ABC的角平分线，点P是AD上的一点，过点P画PH⊥BC于H
（1）求证：∠DPH=

1

2

（∠B-∠C）；
（2）如图2，当点P是线段AD的延长线上的点时，过点P画PH⊥BC于H，上述结论任然成立吗？请你作出判断并加以说明．

Answer 1

分析：（1）由题意推出∠BAD=∠CAD，∠DPH=90°-∠PDH，再由三角形内角和定理推出∠DAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），通过等量代换，即可推出结论，
（2）根据题意，即可推出∠BAD=∠CAD，∠DPH=90°-∠PDH=90°-∠DAC，再根据三角形内角和定理和外角的性质，推出∠DAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），最后通过等量代换即可推出结论．

解答：（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵PH⊥BC于H，
∴∠DPH=90°-∠PDH，
∵∠DAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），
∴∠DPH=90°-∠PDH
=90°-（∠DAC+∠C）
=90°-

1

2

（180°-∠B-∠C）-∠C
=

1

2

（∠B-∠C）．

（2）解：上述结论仍然成立．
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵PH⊥BC于H，
∴∠DPH=90°-∠PDH=90°-∠DAC，
∵∠DAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），
∴∠DPH=90°-∠PDH，
=90°-（∠DAC+∠C）
=90°-

1

2

（180°-∠B-∠C）-∠C
=

1

2

（∠B-∠C）．

点评：本题主要考查三角形的内角和定理、外角的性质定理，关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的性质定理．