Question

19．如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点点E，连接CD．

（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若CD²=DE•DB，求证：DC=BE；
（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD²是否成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出PC=BC，∠CPD=60°，PD∥BC，进而得出∠DBC的正切值等于$\frac{CD}{BC}=\frac{CD}{PC}$，即可得出答案；
（2）利用线段CD是线段DE和DB的比例中项得出△DCE∽△DBC，再利用相似三角形的性质得出即可；
（3）由AD∥PC，PD∥BC，得出$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△PDC}}=\frac{AD}{PC}$，$\frac{{S}_{△PDC}}{{S}_{△BPC}}=\frac{PD}{BC}$，进而得出$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△PDC}}=\frac{{S}_{△PDC}}{{S}_{△BPC}}$，以及$\frac{S}{B{D}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，即可得出比例系数．

解答 解：（1）∵等边△APD和△BPC，
∴PC=BC，∠CPD=60°，∠DPA=∠CBP=60°，
∴PD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB=60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCB=∠PDC=90°，
∴∠DCP=30°，
∴tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}=\frac{CD}{PC}=cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由已知，CD²=DE•DB，
即$\frac{DE}{CD}=\frac{CD}{DB}$，
又∵∠CDE=∠CDE，
∴△DCE∽△DBC，
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{CD}{DB}=\frac{CE}{BC}$，
又∵CP=BC，$\frac{CE}{BC}=\frac{CE}{CP}$，
∵PD∥BC，
∴$\frac{CE}{CP}=\frac{BE}{BD}$，
∴$\frac{CD}{DB}=\frac{CE}{CP}=\frac{BE}{BD}$，
∴CD=BE；
（3）设AP=a，PB=b，
∴${S}_{△APD}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}，{S}_{△BPC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{b}^{2}$，
因为AD∥PC，PD∥BC，
∴$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△PDC}}=\frac{AD}{PC}$，$\frac{{S}_{△PDC}}{{S}_{△BPC}}=\frac{PD}{BC}$，
∴$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△PDC}}=\frac{{S}_{△PDC}}{{S}_{△BPC}}$，
∴${S}_{△PDC}=\sqrt{{S}_{△APD}•{S}_{△BPC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}ab$，
∴$S=\frac{\sqrt{3}}{4}（{a}^{2}+ab+{b}^{2}）$，
作DH⊥AB，
则$DH=\frac{\sqrt{3}}{2}a，BH=\frac{1}{2}a+b$，
∴BD²=DH²+BH²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²+（$\frac{1}{2}$a+b）²=a²+ab+b²，
∴$\frac{S}{B{D}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴S与BD²成正比例，比例系数为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练利用相似三角形的性质得出对应边之间关系是解题关键．