Question

记A=

2012

k=1

1+ 1 k2 + 1 (k+1)2

，再记[A]表示不超过A的最大整数，则[A]=（　　）

• A、2010
• B、2011
• C、2012
• D、2013

Answer 1

考点：取整计算

专题：

分析：先通分得到1+

1

k2

+

1

(k+1)2

=

k2(k+1)2+(k+1)2+k2

k2(k+1)2

，再把分子变形得到完全平方公式，所以

1+ 1 k2 + 1 (k+1)2

=

k(k+1)+1

k(k+1)

，变形得1+

1

k

-

1

k+1

，
则A=1+

1

1

-

1

2

+1+

1

2

-

1

3

+1+

1

3

-

1

4

+…+1+

1

2012

-

1

2013

，计算得到2012

2012

2013

，然后根据[x]表示不超过x的最大整数求解．

解答：解：∵1+

1

k2

+

1

(k+1)2

=

k2(k+1)2+(k+1)2+k2

k2(k+1)2

=

[k(k+1)]2+k2+2k+1+k2

[k(k+1)]2

=

[k(k+1)]2+2k(k+1)+1

[k(k+1)]2

=

[k(k+1)+1]2

[k(k+1)]2

，
∴

1+ 1 k2 + 1 (k+1)2

=

k(k+1)+1

k(k+1)

=1+

1

k

-

1

k+1

，
∴A=1+

1

1

-

1

2

+1+

1

2

-

1

3

+1+

1

3

-

1

4

+…+1+

1

2012

-

1

2013

=2012+1-

1

2013

=2012

2012

2013

，
∴[A]=[2012

2012

2013

]=2012．
故选C．

点评：本题考查了取整计算：[x]表示不超过x的最大整数．也考查了

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．