Question

15、求1⁵+2⁵+3⁵+…+99⁵+100⁵除以4所得的余数．

Answer 1

分析：先根据题意得出1⁵+2⁵+3⁵+…+99⁵+100⁵除以4可能的余数为1，3，5，7，再根据aⁿ 和a^4k+n同模即可得出1⁵+…+100⁵ 和 1⁵+3⁵+5⁵+…+99⁵ 和1+3+5+…+99除以4的余数相同，再讨论出1+3+5+…+99除以4的余数即可．

解答：解：此题有特殊情况，就是都是5次方，而4等于2的2次方，
∴所有的偶数的5次方除以4都可以整除．
我们只考虑奇数的情况．
可能的余数为1，3，5，7
又∵有aⁿ 和a^4k+n同模，
∴1⁵+…+100⁵ 和 1⁵+3⁵+5⁵+…+99⁵ 和1+3+5+…+99除以4的余数相同
∴只讨论1+3+5+…+99，
由于余数的循环性，即，这些奇数除以4的余数是循环的，
1，3，5，7，0，1，3，5，7…
看到1+3+5+7=16除以4的余数为0，99除以4的余数为3，
∴前面的一个奇数除以4的余数为1，
最终这些奇数除以4的余数即为0，
故答案为：0．

点评：本题考查的是同余问题，解答此题的关键是得出1⁵+…+100⁵ 和 1⁵+3⁵+5⁵+…+99⁵ 和1+3+5+…+99除以4的余数相同，再根据1+3+5+…+99的结果得出结论．