Question

在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN=（　　）

• A、BM+DN
• B、AM+CN
• C、BM+CN
• D、AM+DN

Answer 1

考点：四点共圆

专题：

分析：在NM上截取NF=ND，连结DF，AF，由A，B，C，D四点共圆，得出∠MND+∠MAD=180°，由MN∥BC，得出∠AMN+∠ADN=180°，可得到A，D，N，M四点共圆，再由AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，A，F，E，D四点共圆，由∠MAF=180°-∠DAF-∠MND=180°-∠DEN-∠MND=∠EDN=∠ADE=∠AFM，可得出MA=MF，即得出MN=MF+NF=MA+ND．

解答：解：如图，在NM上截取NF=ND，连结DF，AF

∴∠NFD=∠NDF，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADC+∠B=180°，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，
∴∠AMN+∠ADN=180°，
∴A，D，N，M四点共圆，
∴∠MND+∠MAD=180°，
∵AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，
∴∠END+2∠DFN=∠END+2∠DAE=180°，
∴∠DFN=∠DAE，
∴A，F，E，D四点共圆，
∴∠DEN=∠DAF，∠AFM=∠ADE，
∴∠MAF=180°-∠DAF-∠MND
=180°-∠DEN-∠MND
=∠EDN=∠ADE
=∠AFM，
∴MA=MF，
∴MN=MF+NF=MA+ND．
故选：D．

点评：本题主要考查了四点共圆，解题的关键是正确作出辅助线，利用四点共圆求解．