Question

16．如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，D是AC的中点，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF，若AE=12，CF=5，求AC、EF的长．

Answer 1

分析 连结BD，根据等腰三角形的性质可以得出∠ABD=∠CBD=45°，再证明△BED≌△CFD就可以得出BE=CF，就可以求出BF的值，在Rt△BEF，Rt△ABC中利用勾股定理求出EF、AC即可

解答 解：（1）证明：连结BD，
∵AB=AC，∠ABC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵D是AC的中点，
∴BD=AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，∠ABD=∠CBD=45°，BD⊥AC，
∴∠ABD=∠C，∠BDC=90°，
即∠CDF+∠BDF=90°．
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°．
即∠EDB+∠BDF=90°，
∴∠EDB=∠CDF．
在△BED和△CFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠C}\\{BD=CD}\\{∠EDB=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴BE=CF=5
∵AB=AE+BE，
∴AB=AE+CF．
∵AE=12，FC=5，
∴AB=17，
∴BF=12．
在Rt△EBF中，由勾股定理，得EF=13．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=17$\sqrt{2}$
答：EF=13，AC=17$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．