Question

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△PHO的中线PM与NH交于点G．
（1）求证：=2；
（2）设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写自变量x的取值范围；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．

Answer 1

（1）证明：连接MN，
∵NH、PM是三角形的中线，
∴G是△OPH的重心，
∴=2；

（2）解：在Rt△OPH中，
OH==，
MH=OH=，
在Rt△MPH中，MP==，
∴y=GP=MP=，（0＜x＜6）
答：y关于x的函数解析式是y=，自变量x的取值范围（0＜x＜6）；

（3）解：△PGH是等腰三角形有三种可能情况：
①GP=PH，即=x，
解得x=，
②PH=GH，即x=2，
③GP=GH，即=2，解得x=0（舍去），
综上所述，如果△PGH是等腰三角形，那么线段PH的长等于PH=GH，即或2．
答：线段PH的长是或2．
分析：（1）连接MN，利用NH、PM是三角形的中线，求证△OMN∽△OHP，然后根据相似三角形对应边成比例即可求得=2；
（2）根据勾股定理求出OH，然后可得MH，再利用勾股定理求出MP的长，然后可得y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
（3）此小题应采用分类讨论的思想解答，当GP=PH，PH=GH，GP=GH，分别求出线段PH的长．
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题．