Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，D是AC边上的动点，E是BC边上的动点，AD=BC，CD=BE．

（1）如图1，若点E与点C重合，连结BD，请写出∠BDE的度数；
（2）若点E与点B、C不重合，连结AE、BD交于点F，请在图2中补全图形，并求出∠BFE的度数．

Answer 1

【答案】分析：（1）由CD=BE，∠ACB=90°就可以得出△BCD是等腰直角三角形，故可以得出∠BDE的度数；
（2）作AG⊥AC且AG=CD=BE，连接BG，则四边形AEBG是平行四边形．连接GD，证明Rt△BCD≌Rt△DAG，则GD=BD，△BGD是等腰直角三角形．就可以求出结论．
解答：解：（1）∵点E与点C重合，
∴BE=BC．
∵CD=BE，
∴CD=BC．
∵∠ACB=90°，
∴∠BDE=45°

（2）作AG⊥AC且AG=CD=BE，连接BG，GD，
∴∠GAD=90°．
∵∠ACB=90°．
∴BC⊥AC，∠GAD=∠ACB
∴AG∥BC，
∴四边形AEBG是平行四边形，
∴GB∥AE，
∴∠AFD=∠GBD．
在△GAD和△DCB中，
，
∴△GAD≌△DCB（SAS），
∴GD=BD，∠GDA=∠DBC，
∵∠DBC+∠BDC=90°，
∴∠GDA+∠BDC=90°，
∴∠GDB=90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴∠GBD=45°，
∴∠AFD=45°，
∴∠BFE=45°．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时添加合适的辅助线是难点，证明△BGD是等腰直角三角形是关键．