Question

12．把两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，
（1）你能判断重叠部分ABCD的形状吗？并说明理由．
（2）当∠ABC=ɑ，AB=1时，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形；
（2）作出BC边上的高AE，则可表示出AE的长，则可表示出四边形ABCD的面积．

解答 解：
（1）过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE=AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S_?ABCD=BC•AE=CD•AF．
又∵AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）在Rt△ABE中，AB=1，∠ABC=α，
∴sinα=$\frac{AE}{AB}$，即sinα=$\frac{AE}{1}$，
∴AE=sinα，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=1，
∴S_{四边形ABCD}=BC•AE=1×sinα=sinα．

点评 本题主要考查矩形的性质、菱形的判定和性质，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键．