Question

已知∠MON=90°，等边三角形ABC的一个顶点B是射线ON上的一定点，顶点A于点O重合，顶点C在∠MON内部
（1）当点A在射线OM上移动到A₁时，连接A₁B，请在∠MON内部作出以A₁B为一边的等边三角形A₁BC₁（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设A₁B与OC交于点Q，BC的延长线与A₁C₁交于点D．求证：△BCQ∽△BA₁D；
（3）连接CC₁，试猜想∠BCC₁为多少度，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）分别以B、A₁为圆心，A₁B长为半径画弧，两弧交于一点C₁，连接A₁C₁，BC₁即可；
（2）根据条件可以得到∠BCQ=∠BA₁D=60°，∠A₁BD=∠QBC，即可证出△BCQ∽△BA₁D；
（3）首先证明∠ABA₁=∠CBC₁，再利用SAS定理证出△A₁BA≌△C₁BC，即可得到∠BCC₁=∠BAA₁=90°．

解答：解：（1）如图所示：

（2）∵△ACB和△A₁C₁B都是等边三角形，
∴∠BCQ=∠BA₁D=60°，
∵∠A₁BD=∠QBC，
∴△BCQ∽△BA₁D；

（3）猜想∠BCC₁=90°，
∵△ACB和△A₁C₁B都是等边三角形，
∴∠CBA=∠A₁BC₁=60°，A₁B=C₁B，AB=CB，
∴∠ABA₁=∠CBC₁，
在△A₁BA和△C₁BC中：

A1B=C1B ∠A1BA=∠C1BC AB=CB

，
∴△A₁BA≌△C₁BC（ASA），
∴∠BCC₁=∠BAA₁=90°．

点评：此题主要考查了基本作图的方法，相似三角形的判定，全等三角形的判定，关键是根据题意正确画出图形，理清角之间的关系，即可证明三角形相似与全等．