Question

在十年文革期间，“红卫兵”们揪斗刘少奇、彭德怀、彭真等老干部时，常给他们戴上侮辱性的“高帽子”．这种“高帽子”是用如图①所示的扇形硬纸板，做成如图②所示的无底圆锥体．已知接缝的重叠部分的圆心角为30°．
（1）求重叠部分的面积．（结果保留π）
（2）计算这顶“高帽子”有多高？（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）根据扇形的面积公式即可直接求解；
（2）首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求得半径，然后根据勾股定理即可求解．

解答：解：（1）面积是：

30π×12

360

=

π

12

m²；
（2）圆锥的底面周长是：

(90-30)π

180

=

π

3

m，
设圆锥底面半径是r，则2πr=

π

3

，
解得：r=

1

6

，
则圆锥的高是：

12-( 1 6 )2

=

35

6

m．

点评：本题利用了勾股定理，扇形的面积公式，圆的周长公式求解．关键是理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．