Question

已知，如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，E、F分别是AB、AD的中点，连EF，将△FAE绕点F旋转180°得△FDM．
（1）求证：EF⊥AC．
（2）若∠B=60°，求以E、M、C为顶点的三角形的面积．

Answer 1

分析：（1）连BD，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，又由E、F分别是AB、AD的中点，根据三角形中位线的性质，即可证得EF⊥AC；
（2）由旋转的性质，即可得△FDM≌△FAE，又由菱形的性质，可证得∠MDF+∠FDC=180°，即M、D、C三点共线，然后作AH⊥DC于H，作EN⊥DC于N，利用三角函数的知识即可求得EN的值，则可求得以E、M、C为顶点的三角形的面积．

解答：解：（1）证明：连BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
又∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF∥BD，
∴AC⊥EF．

（2）依题意，△FAE绕F点旋转180°得△FDM，
∴△FDM≌△FAE，
∴∠EAF=∠MDF．
又∵菱形ABCD中，AB∥DC，∠EAF+∠FDC=180°，
∴∠MDF+∠FDC=180°，
∴M、D、C三点共线，
作AH⊥DC于H，作EN⊥DC于N，
则EN=AH．
∵AD=2，∠ADC=∠B=60°，
∴AH=AD•sin60°=

3

=EN．
又∵MD=EA=

1

2

AB=1，DC=2，
∴MC=MD+CD=3，
∴S_△MEC=

1

2

MC•EN=

1

2

×3×

3

=

3

2

3

．

点评：此题考查了菱形的性质、旋转的性质、三角形中位线的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握菱形的性质，注意数形结合思想的应用．