Question

正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF.

（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：　    　；
（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心,逆时针旋转90⁰，得到线段FQ，连接EQ，请猜想EF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出EF、EQ、BP三者之间的数量关系： 　  　.

Answer 1

解：（1）垂直且相等。
（2）EF、EQ、BP三者之间的数量关系为：。
证明如下：
如图，取BC的中点G，连接FG，

由（1）得EF=FG，EF⊥FG，
根据旋转的性质，FP=FQ，∠PFQ =90°。
∴∠GFP=∠GFE—∠EFP=90°—∠EFP，
∠EFQ=∠PFQ—∠EFP=90°—∠EFP。
∴∠GFP=∠EFQ。
在△FQE和△FPG中，∵EF=GF，∠EFQ=∠GFP，FQ = FP，
∴△FQE≌△FPG（SAS）。∴EQ=GP。
∴。
（3）补图如下，F、EQ、BP三者之间的数量关系为：。

试题分析：（1）EF与FG关系为垂直且相等（EF=FG且EF⊥FG）。证明如下：
∵点E、F、G分别是正方形边AD、AB、BC的中点，
∴△AEF和△BGD是两个全等的等腰直角三角形。
∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°。∴∠EFG=90°，即EF⊥FG。
（2）取BC的中点G，连接FG，则由SAS易证△FQE≌△FPG，从而EQ=GP，因此。
（3）同（2）可证△FQE≌△FPG（SAS），得EQ=GP，因此，
。