Question

19．如图所示，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）若AE=12，DE=15，求AB的长度．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，∠B=∠BAC=45°，求出∠ACE=∠BCD，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）根据全等求出AE=BD，∠EAC=∠B=45°，求出∠EAD=90°，在Rt△EAD中，由勾股定理求出AD，即可得出AB的长度．

解答 （1）证明：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，∠B=∠BAC=45°，
∴∠ACE=∠BCD=90°-∠ACD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ACE=∠BCD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；

（2）解：∵△BCD≌△ACE，
∴BD=AE=12，∠EAC=∠B=45°，
∴∠EAD=45°+45°=90°，
在Rt△EAD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{D{E}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，
∴AB=BD+AD=12+9=21．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是能求出△ACE≌△BCD和求出AD的长，难度适中．