Question

某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax²+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax²+2x+3的顶点的横坐标减少

1

a

，纵坐标增加

1

a

，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加

1

a

，纵坐标增加

1

a

，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax²+2x+3上．
（1）请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax²+2x+3的顶点所在直线的解析式；
（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；
（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般-一特殊-一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先将抛物线y=ax²+2x+3转化成顶点式，写出用a表示的顶点坐标，消去a写出y关于x的表达式；
（2）观察（1）中的顶点坐标，-

1

a

≠0，即横坐标≠0，则纵坐标≠3；
（3）首先写出抛物线的一般形式，再转化成顶点式，将顶点的横坐标增加

1

a

，代入一般式，验证纵坐标也增加

1

a

．

解答：解：（1）y=ax²+2x+3=a(x+

1

a

)2+3-

1

a

抛物线y=ax²+2x+3的顶点坐标为( -

1

a

，3-

1

a

)
∴抛物线y=ax²+2x+3的顶点所在直线的解析式为y=x+3
（2）当a≠0时，顶点的横坐标-

1

a

≠0
∴（0，3）点不是抛物线的顶点．
（3）抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）
由题意得A（-

b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

）
把x=-

b+2

2a

代入y=ax²+bx+c=a（-

b+2

2a

）²+b（-

b+2

2a

）+c=

4ac-b2+4

4a

∴点A在抛物线y=ax²+bx+c上，同理点B也在抛物线y=ax²+bx+c上．

点评：本题是二次函数的综合题．主要考查同学们对顶点式的理解，即灵活运用能力，属于一道开发性题目．