Question

（2010•防城港）已知：抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0），点B在x轴的正半轴上，OC=3OA（O为坐标原点）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线上的一个动点且在x轴下方和抛物线对称轴的左侧，过E作EF∥x轴交抛物线于另一点F，作ED⊥x轴于点D，FG⊥x轴于点G，求四边形DEFG周长m的最大值；
（3）设抛物线顶点为P，当四边形DEFG周长m取得最大值时，以EF为边的平行四边形面积是△AEP面积的2倍，另两顶点钟有一顶点Q在抛物线上，求Q点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根据抛物线的开口方向，确定点C的位置，然后根据OC、OA的比例关系求出C点的坐标，将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值．
（2）由题意可知：四边形DEFG为矩形，可设出点E的横坐标，根据抛物线的对称轴表示出点F的横坐标，根据抛物线的解析式表示出两点的纵坐标，进而可得到矩形的长和宽的表达式，由此可求出关于m和E点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得m的最大值．
（3）由（2）知，当m最大时，E、C重合，设直线AP与y轴的交点为M，根据直线AP的解析式，可求得M的坐标，进而可得到△AEP和平行四边形的面积，易求得EF的长，即可得到Q到直线EF的距离，从而确定Q点的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中，即可求得符合条件的Q点坐标．
解答：解：（1）由于抛物线的开口向上，且与x轴的交点位于原点两侧，
则C点必在y轴的负半轴上；
∵OC=3OA=3，即C（0，-3），
则有：，
解得；
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3．

（2）由（1）的抛物线知：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
即抛物线的对称轴为x=1；
设E（x，x²-2x-3），
则F（2-x，x²-2x-3）；（-1＜x＜1）
由题意知：四边形DEFG为矩形，
则其周长：m=2（2-x-x）+2（-x²+2x+3）=-2x²+10；
∴当x=0时，四边形AEFG的周长m最大，且最大值为10．

（3）由（2）知：E（0，-3），F（2，-3），P（1，-4）；
∵A（-1，0）、P（1，-4），
∴直线AP：y=-2x-2；
设AP与y轴的交点为M，则M（0，-2），ME=1；
∴S_△APE=×1×2=1，
∴S_{平行四边形}=EF•|y_Q-y_E|=2，
∵EF=2，
∴|y_Q-y_E|=1；
当y_Q-y_E=1时，y_Q=y_E+1=-3+1=-2，代入抛物线的解析式中，
得：x²-2x-3=-2，
解得x=1±；
∴Q₁（1+，-2），Q₂（1-，-2）；
当y_Q-y_E=-1时，y_Q=y_E-1=-3-1=-4，此时Q、P重合，
即：Q₃（1，-4）；
综上所述，有3个符合条件的Q点，它们的坐标为：Q₁（1+，-2），Q₂（1-，-2），Q₃（1，-4）．
点评：本题是二次函数的综合题，考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及图形面积的求法，需要注意的是（1）题中，首先要根据抛物线的开口方向来判断C点所处的位置；（3）题中，要考虑到EF上、下方都有可能存在符合条件的Q点，不要漏解．