Question

27、如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D，
（1）求证：∠PCD=∠PDC．
（2）你认为OP与CD有什么关系？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由角平分线的性质易得PC=PD，根据等边对等角即可得出∠PCD=∠PDC；
（2）易证△POC≌△POD，则OC=OD，根据线段垂直平分线的性质逆定理可得OP垂直平分CD．

解答：（1）证明：∵P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD（角平分线的性质），
∴∠PCD=∠PDC（等边对等角）；

（2）解：OP垂直平分CD．
理由：∵PC=PD，OP=OP，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC=OD，
∴OP垂直平分CD（线段垂直平分线的性质逆定理）．

点评：此题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，以及线段垂直平分线的性质，难度中等．