Question

已知：如图1，抛物线的顶点为Q，与轴交于A（-1，0）、B(5，0)

两点，与轴交于C点.

（1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；

（2）在该抛物线的对称轴上求一点,使得△的周长最小.请在图中画出点的位置，并求点的坐标；

（3）如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE⊥ 轴，垂足为E．

①有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D-E-O的长度最长”。这个同学的说法正确吗？请说明理由.

②若与直线交于点.试探究：四边形能否为平行四边形？

若能,请直接写出点的坐标；若不能,请简要说明理由；

 

Answer 1

解：(1)将A（-1，0）、B(5，0)分别代入中，

得 ，得    ∴.………………2分

∵， ∴Q（2 ，9）.……3分

（2）如图1，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.……4分

∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小.

∵点A关于对称轴=1的对称点是点B（5，0），抛物线与y轴交点C的坐标为（0，5）.

∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小. ………………5分

设直线BC的解析式为y=k+5,将B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，

∴=-+5，∴当=2时，y=3 ，∴点P的坐标为（2，3）. ….6分

(3) 这个同学的说法不正确. ……………7分

∵设，设折线D-E-O的长度为L，则

，

∵，∴当时，.

而当点D与Q重合时，，

∴该该同学的说法不正确.…9分

（4）①四边形不能为平行四边形.……………10分

如图2，若四边形为平行四边形,则EF=DF,CF=BF.

∵DE∥轴，∴,即OE=BE=2.5.

当=2.5时,,即；

当=2.5时, ,即.

∴＞2.5. 即＞,这与EF=DF相矛盾，

∴四边形不能为平行四边形. ……………12分