Question

20．以Rt△ABC的一条直角边AB为直径作圆，交斜边BC于E，F是AC的中点．求证：EF是⊙O的切线．

Answer 1

分析 连接OE、AE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB=90°，推出∠CEA=90°．根据F为AC边上的中点，得到CF=FA=EF，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠1+∠4=∠2+∠3，根据直角三角形的性质得到∠BAC=∠2+∠3=90°，于是得到∠FEO=∠1+∠4=90°．即可得到结论．

解答 证明：如图，连接OE、AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠CEA=90°．
∵F为AC边上的中点，
∴CF=FA=EF，
∴∠1=∠2．
∵OA=OE，
∴∠3=∠4．
∴∠1+∠4=∠2+∠3．
∵在Rt△ABC中，∠BAC=∠2+∠3=90°，
∴∠FEO=∠1+∠4=90°．
∵E为⊙O上的点，
∴EF是⊙O的切线．

点评 主要考查了切线的判定方法，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．